Geometrie Herausforderung

Ein geometrisches Puzzle

Zugegeben … Denksportaufgaben sind nicht jedermanns Sache, schon gar nicht mathematische.

Sei’s drum.

Mit der folgenden kleinen Herausforderung habe ich mich vor zwei Wochen beschäftigt.

Symbolgrafik eines leeren Quadrats

Auf dem Bild seht ihr ein Quadrat (alle Seiten sind gleich lang). Zusätzlich habe ich die genauen Mitten aller vier Seiten markiert.

Es handelt sich bei dem Bild nur um eine Symbolgrafik. Weder sind die Seiten gerade, noch sind sie exakt gleich lang. Auch die folgenden Bilder dienen nur der Veranschaulichung. Ihr müsst da auch später nichts ausmessen.

Die Fläche eines Quadrats berechnet sich wie bei jedem Rechteck durch die Multiplikation der beiden (unterschiedlichen) Seitenlängen, beim Quadrat also durch Quadrieren der einen Seite: A = a2.

Das war jetzt sehr interessant, ist aber für unser Puzzle völlig irrelevant. 😉

Symbolgrafik unseres Quadrats mit eingezeichneten Flächen

Als nächstes wählen wir innerhalb des Quadrats einen beliebigen Punkt. Diesen Punkt verbinden wir mit je einer Linie mit den vier markierten Seitenmitten. Insgesamt haben wir das Quadrat jetzt in vier kleinere (wahrscheinlich) unregelmäßige Flächen aufgeteilt. Das darf ruhig ganz anders aussehen als bei euch.

Symbolgrafik unseres Quadrats mit eingezeichneten Flächenangaben

Jede dieser Teilflächen hat einen ganz bestimmten Flächeninhalt. Für unsere Denksportaufgabe setzen wir die Werte für drei der Flächen fest. Den richtigen Wert entsprechend der Zeichnung müssen wir gar nicht kennen. Der spielt keine Rolle.

Die Aufgabe

Unser Quadrat mit eingefärbten Teilflächen

Drei Flächen sind bekannt (per Definition), die Größe der vierten Fläche soll ermittelt werden.

Smiley, der viel Spaß wünschtViel Spaß!


Clipart mit nachdenkendem MannBevor ihr jetzt weiter lest, solltet ihr zumindest ein paar Minuten selber über die Lösung nachdenken. Darin liegt ja die Herausforderung.


Uhrsymbol

… Stunden später …

Uhrsymbol

… noch mehr Stunden später …

Okay, es folgen jetzt ein paar Tipps …

Erster Tipp zur Lösung des Geometrie-Puzzles

Denk in Dreiecken!

Ergebnis des ersten Tipps

Bei unregelmäßigen Flächen hat man das Problem, dass man die Flächeninhalte schlecht berechnen kann. Deswegen zerlegt man solche Formen üblicherweise in geometrische Formen, deren Inhalt sich leicht berechnen lässt, zum Beispiel in Rechteche, Quadrate und Dreiecke.

Das machen wir jetzt mal. Dazu ziehen wir von dem Punkt im Quadrat zu jeder Ecke des Quadrats eine Linie. Auf diese Weise wird jede der unregelmäßigen Flächen in zwei Dreiecke aufgeteilt.

Da wir überhaupt keine Informationen über die Seitenlängen haben, lässt sich die Fläche aber trotzdem nicht berechnen, jedenfalls nicht in Form eines Wertes. Ist aber auch nicht notwendig!

Unser Quadrat ist in Dreiecke zerlegt

Zweiter Tipp zur Lösung des Geometrie-Puzzles

Ihr benötigt nur Addition und Subtraktion.

Das bekommt jeder hin. Niemand muss Wurzeln ziehen, mit Logarithmen arbeiten oder irgendein anderes merkwürdiges Zeug kennen.

Plus und Minus reichen völlig!

Dritter Tipp zur Lösung des Geometrie-Puzzles

Überlegt euch, welche der vielen Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben.

Am besten markiert ihr euch diese Dreiecke farblich oder kennzeichnet sie mit den gleichen Buchstaben.

Ergebnis des dritten Tipps

Gleichgroße Dreieecke sind in unserem Quadrat farblich markiert

Warum sind die farblich markierten Dreiecke gleich groß?

Dazu müsst ihr wissen, wie die Fläche eines Dreiecks berechnet wird (ihr müsst aber nichts selber rechnen!), nämlich A = 1/2 * Grundlinie * Höhe.

Skizze zur Flächenberechnung eines Dreiecks

Alle Dreiecke mit derselben Grundlinie und derselben Höhe haben also den gleichen Flächeninhalt, völlig unabhängig davon, wie schief sie aussehen.

Gleiche Dreiecke im Quadrat sind mit Buchstaben markiert

Die Dreiecke mit derselben Farbe haben zwar rein optisch nicht dieselbe Grundlinie, aber die Länge der Grundlinie ist identisch, denn so haben wir das konstruiert. Die Markierung auf der Seite ist genau in der Mitte. Die Spitze der Dreiecke ist der gleiche Punkt. Also ist auch die Höhe jeweils gleich. Grundfläche gleich lang, Höhe gleich lang, also auch Fläche gleich groß. Und das, ohne zu rechnen!

Clipart mit nachdenkendem Mann


Die Lösung

Falls ihr bis zu dieser Stelle mitgearbeitet und mitgedacht habt, wisst ihr die Lösung vielleicht schon.

Nein?

Okay, kein Problem.

Wir kennen die Flächen von drei unregelmäßigen Flächen, die sich jeweils aus zwei Dreiecken zusamensetzen:

Flächengröße für links oben: 20Fläche links oben: a + d = 20

Flächengröße für rechts oben: 32Fläche rechts oben: a + b = 32

Flächengröße für links unten: 12Fläche links unten: c + d = 12

Woher wir die Werte kennen? Wir haben die Werte einfach mal willkürlich so festgelegt. Diese Werte gehörten als Vorgabe zur Aufgabenstellung.

Flächengröße für rechts unten: unbekanntFläche rechts unten: b + c = ?

Wenn wir uns die beiden folgenden Bilder genauer ansehen, erkennen wir, dass in den jeweils gegenüberliegenden Flächen alle vier Buchstaben vorhanden sind (alle vier verschiedenen Dreiecke).

Alle vier Buchstaben kommen in den gegenüberliegenden Flächen vorAlle vier Buchstaben kommen in den gegenüberliegenden Flächen vor


Natürlich gilt: a + b + c + d = a + b + c + d

Oder: (a + d) + (b + c) = ( a + b ) + ( c + d ).

Für die Termumformung habe ich lediglich die Summanden anders angeordnet (Kommutativgesetz) und mit Klammern hervorgehoben (Assoziativgesetz). Jede Klammer entspricht nun dem Flächeninhalt einer der Flächen mit je zwei Dreiecken.

Auf der linken Seite der Gleichung stehen immer noch alle vier Buchstaben, auf der rechten ebenso. Die Summe ist also auf beiden Seiten gleich.

Wir suchen die Größe der Fläche, die sich aus den beiden Dreiecken b und c zusammensetzt.

Bei einer Gleichung darf man auf beiden Seiten denselben Wert abziehen, ohne dass sich an der Gleichheit etwas ändert.

10 = 10

10 – 2 = 10 – 2 ergibt 8 = 8 und ist damit immer noch eine korrekte Aussage.

Lasst uns nun (a + d) auf beiden Seiten unserer Gleichung abziehen, also:

(a + d) + (b + c) – (a + d) = ( a + b ) + ( c + d ) – (a + d)

Oder etwas umgestellt:

(a + d) – (a + d) + (b + c) = ( a + b ) + ( c + d ) – (a + d)

Wenn man einen Wert von sich selber abzieht, bleibt nichts (bzw. Null) übrig.

Es ergibt sich also:

(b + c) = ( a + b ) + ( c + d ) – (a + d)

Die Werte für die Klammerausdrücke auf der rechten Seite der Gleichung kennen wir aber und haben sie weiter oben notiert. Die setzen wir nun ein:

(b + c) = 32 + 12 – 20

(b + c) = 24

Und das ist genau die gesuchte Größe unserer Fläche rechts unten im Quadrat: 24

Spezialfall mit vier gleich großen Teilflächen

Quadrat mit vier gleich großen Teilflächen

Platziert den frei wählbaren Punkt einmal ganz genau in die Mitte des Quadrats. Jetzt ergibt sich die Lösung ganz von selbst. Alle vier Flächen haben dann denselben Flächeninhalt und die gerade gelöste Gleichung ergibt unmittelbar einen Sinn.

Wenn ihr den Lösungsweg verstanden habt, könnt ihr nun eure eigenen Verwandten und Freunde herausfordern. Sie werden euch für ein mathematisches Genie halten!

Schreibt mir gerne einen Kommentar, wie ihr bei euren Leuten angekommen seid!

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