Ein geometrisches Puzzle
Zugegeben … Denksportaufgaben sind nicht jedermanns Sache, schon gar nicht mathematische.
Sei’s drum.
Mit der folgenden kleinen Herausforderung habe ich mich vor zwei Wochen beschÀftigt.
Auf dem Bild seht ihr ein Quadrat (alle Seiten sind gleich lang). ZusÀtzlich habe ich die genauen Mitten aller vier Seiten markiert.
Es handelt sich bei dem Bild nur um eine Symbolgrafik. Weder sind die Seiten gerade, noch sind sie exakt gleich lang. Auch die folgenden Bilder dienen nur der Veranschaulichung. Ihr mĂŒsst da auch spĂ€ter nichts ausmessen.
Die FlÀche eines Quadrats berechnet sich wie bei jedem Rechteck durch die Multiplikation der beiden (unterschiedlichen) SeitenlÀngen, beim Quadrat also durch Quadrieren der einen Seite: A = a2.
Das war jetzt sehr interessant, ist aber fĂŒr unser Puzzle völlig irrelevant. đ
Als nĂ€chstes wĂ€hlen wir innerhalb des Quadrats einen beliebigen Punkt. Diesen Punkt verbinden wir mit je einer Linie mit den vier markierten Seitenmitten. Insgesamt haben wir das Quadrat jetzt in vier kleinere (wahrscheinlich) unregelmĂ€Ăige FlĂ€chen aufgeteilt. Das darf ruhig ganz anders aussehen als bei euch.
Jede dieser TeilflĂ€chen hat einen ganz bestimmten FlĂ€cheninhalt. FĂŒr unsere Denksportaufgabe setzen wir die Werte fĂŒr drei der FlĂ€chen fest. Den richtigen Wert entsprechend der Zeichnung mĂŒssen wir gar nicht kennen. Der spielt keine Rolle.
Die Aufgabe
Drei FlĂ€chen sind bekannt (per Definition), die GröĂe der vierten FlĂ€che soll ermittelt werden.
Viel SpaĂ!
Bevor ihr jetzt weiter lest, solltet ihr zumindest ein paar Minuten selber ĂŒber die Lösung nachdenken. Darin liegt ja die Herausforderung.
… Stunden spĂ€ter …
… noch mehr Stunden spĂ€ter …
Okay, es folgen jetzt ein paar Tipps …
Erster Tipp zur Lösung des Geometrie-Puzzles
Denk in Dreiecken!
Ergebnis des ersten Tipps
Bei unregelmĂ€Ăigen FlĂ€chen hat man das Problem, dass man die FlĂ€cheninhalte schlecht berechnen kann. Deswegen zerlegt man solche Formen ĂŒblicherweise in geometrische Formen, deren Inhalt sich leicht berechnen lĂ€sst, zum Beispiel in Rechteche, Quadrate und Dreiecke.
Das machen wir jetzt mal. Dazu ziehen wir von dem Punkt im Quadrat zu jeder Ecke des Quadrats eine Linie. Auf diese Weise wird jede der unregelmĂ€Ăigen FlĂ€chen in zwei Dreiecke aufgeteilt.
Da wir ĂŒberhaupt keine Informationen ĂŒber die SeitenlĂ€ngen haben, lĂ€sst sich die FlĂ€che aber trotzdem nicht berechnen, jedenfalls nicht in Form eines Wertes. Ist aber auch nicht notwendig!
Zweiter Tipp zur Lösung des Geometrie-Puzzles
Ihr benötigt nur Addition und Subtraktion.
Das bekommt jeder hin. Niemand muss Wurzeln ziehen, mit Logarithmen arbeiten oder irgendein anderes merkwĂŒrdiges Zeug kennen.
Plus und Minus reichen völlig!
Dritter Tipp zur Lösung des Geometrie-Puzzles
Ăberlegt euch, welche der vielen Dreiecke den gleichen FlĂ€cheninhalt haben.
Am besten markiert ihr euch diese Dreiecke farblich oder kennzeichnet sie mit den gleichen Buchstaben.
Ergebnis des dritten Tipps
Warum sind die farblich markierten Dreiecke gleich groĂ?
Dazu mĂŒsst ihr wissen, wie die FlĂ€che eines Dreiecks berechnet wird (ihr mĂŒsst aber nichts selber rechnen!), nĂ€mlich A = 1/2 * Grundlinie * Höhe.
Alle Dreiecke mit derselben Grundlinie und derselben Höhe haben also den gleichen FlÀcheninhalt, völlig unabhÀngig davon, wie schief sie aussehen.
Die Dreiecke mit derselben Farbe haben zwar rein optisch nicht dieselbe Grundlinie, aber die LĂ€nge der Grundlinie ist identisch, denn so haben wir das konstruiert. Die Markierung auf der Seite ist genau in der Mitte. Die Spitze der Dreiecke ist der gleiche Punkt. Also ist auch die Höhe jeweils gleich. GrundflĂ€che gleich lang, Höhe gleich lang, also auch FlĂ€che gleich groĂ. Und das, ohne zu rechnen!
Die Lösung
Falls ihr bis zu dieser Stelle mitgearbeitet und mitgedacht habt, wisst ihr die Lösung vielleicht schon.
Nein?
Okay, kein Problem.
Wir kennen die FlĂ€chen von drei unregelmĂ€Ăigen FlĂ€chen, die sich jeweils aus zwei Dreiecken zusamensetzen:
FlÀche links oben: a + d = 20
FlÀche rechts oben: a + b = 32
FlÀche links unten: c + d = 12
Woher wir die Werte kennen? Wir haben die Werte einfach mal willkĂŒrlich so festgelegt. Diese Werte gehörten als Vorgabe zur Aufgabenstellung.
FlÀche rechts unten: b + c = ?
Wenn wir uns die beiden folgenden Bilder genauer ansehen, erkennen wir, dass in den jeweils gegenĂŒberliegenden FlĂ€chen alle vier Buchstaben vorhanden sind (alle vier verschiedenen Dreiecke).
NatĂŒrlich gilt: a + b + c + d = a + b + c + d
Oder: (a + d) + (b + c) = ( a + b ) + ( c + d ).
FĂŒr die Termumformung habe ich lediglich die Summanden anders angeordnet (Kommutativgesetz) und mit Klammern hervorgehoben (Assoziativgesetz). Jede Klammer entspricht nun dem FlĂ€cheninhalt einer der FlĂ€chen mit je zwei Dreiecken.
Auf der linken Seite der Gleichung stehen immer noch alle vier Buchstaben, auf der rechten ebenso. Die Summe ist also auf beiden Seiten gleich.
Wir suchen die GröĂe der FlĂ€che, die sich aus den beiden Dreiecken b und c zusammensetzt.
Bei einer Gleichung darf man auf beiden Seiten denselben Wert abziehen, ohne dass sich an der Gleichheit etwas Àndert.
10 = 10
10 – 2 = 10 – 2 ergibt 8 = 8 und ist damit immer noch eine korrekte Aussage.
Lasst uns nun (a + d) auf beiden Seiten unserer Gleichung abziehen, also:
(a + d) + (b + c) – (a + d) = ( a + b ) + ( c + d ) – (a + d)
Oder etwas umgestellt:
(a + d) – (a + d) + (b + c) = ( a + b ) + ( c + d ) – (a + d)
Wenn man einen Wert von sich selber abzieht, bleibt nichts (bzw. Null) ĂŒbrig.
Es ergibt sich also:
(b + c) = ( a + b ) + ( c + d ) – (a + d)
Die Werte fĂŒr die KlammerausdrĂŒcke auf der rechten Seite der Gleichung kennen wir aber und haben sie weiter oben notiert. Die setzen wir nun ein:
(b + c) = 32 + 12 – 20
(b + c) = 24
Spezialfall mit vier gleich groĂen TeilflĂ€chen
Platziert den frei wÀhlbaren Punkt einmal ganz genau in die Mitte des Quadrats. Jetzt ergibt sich die Lösung ganz von selbst. Alle vier FlÀchen haben dann denselben FlÀcheninhalt und die gerade gelöste Gleichung ergibt unmittelbar einen Sinn.
Wenn ihr den Lösungsweg verstanden habt, könnt ihr nun eure eigenen Verwandten und Freunde herausfordern. Sie werden euch fĂŒr ein mathematisches Genie halten!
Schreibt mir gerne einen Kommentar, wie ihr bei euren Leuten angekommen seid!