Geometrie Herausforderung

Ein geometrisches Puzzle

Zugegeben … Denksportaufgaben sind nicht jedermanns Sache, schon gar nicht mathematische.

Sei’s drum.

Mit der folgenden kleinen Herausforderung habe ich mich vor zwei Wochen beschäftigt.

Symbolgrafik eines leeren Quadrats

Auf dem Bild seht ihr ein Quadrat (alle Seiten sind gleich lang). Zusätzlich habe ich die genauen Mitten aller vier Seiten markiert.

Es handelt sich bei dem Bild nur um eine Symbolgrafik. Weder sind die Seiten gerade, noch sind sie exakt gleich lang. Auch die folgenden Bilder dienen nur der Veranschaulichung. Ihr müsst da auch später nichts ausmessen.

Die Fläche eines Quadrats berechnet sich wie bei jedem Rechteck durch die Multiplikation der beiden (unterschiedlichen) Seitenlängen, beim Quadrat also durch Quadrieren der einen Seite: A = a2.

Das war jetzt sehr interessant, ist aber für unser Puzzle völlig irrelevant. 😉

Symbolgrafik unseres Quadrats mit eingezeichneten Flächen

Als nächstes wählen wir innerhalb des Quadrats einen beliebigen Punkt. Diesen Punkt verbinden wir mit je einer Linie mit den vier markierten Seitenmitten. Insgesamt haben wir das Quadrat jetzt in vier kleinere (wahrscheinlich) unregelmäßige Flächen aufgeteilt. Das darf ruhig ganz anders aussehen als bei euch.

Symbolgrafik unseres Quadrats mit eingezeichneten Flächenangaben

Jede dieser Teilflächen hat einen ganz bestimmten Flächeninhalt. Für unsere Denksportaufgabe setzen wir die Werte für drei der Flächen fest. Den richtigen Wert entsprechend der Zeichnung müssen wir gar nicht kennen. Der spielt keine Rolle.

Die Aufgabe

Unser Quadrat mit eingefärbten Teilflächen

Drei Flächen sind bekannt (per Definition), die Größe der vierten Fläche soll ermittelt werden.

Smiley, der viel Spaß wünschtViel Spaß!


Clipart mit nachdenkendem MannBevor ihr jetzt weiter lest, solltet ihr zumindest ein paar Minuten selber über die Lösung nachdenken. Darin liegt ja die Herausforderung.


Uhrsymbol

… Stunden später …

Uhrsymbol

… noch mehr Stunden später …

Okay, es folgen jetzt ein paar Tipps …

Erster Tipp zur Lösung des Geometrie-Puzzles

Denk in Dreiecken!

Ergebnis des ersten Tipps

Bei unregelmäßigen Flächen hat man das Problem, dass man die Flächeninhalte schlecht berechnen kann. Deswegen zerlegt man solche Formen üblicherweise in geometrische Formen, deren Inhalt sich leicht berechnen lässt, zum Beispiel in Rechteche, Quadrate und Dreiecke.

Das machen wir jetzt mal. Dazu ziehen wir von dem Punkt im Quadrat zu jeder Ecke des Quadrats eine Linie. Auf diese Weise wird jede der unregelmäßigen Flächen in zwei Dreiecke aufgeteilt.

Da wir überhaupt keine Informationen über die Seitenlängen haben, lässt sich die Fläche aber trotzdem nicht berechnen, jedenfalls nicht in Form eines Wertes. Ist aber auch nicht notwendig!

Unser Quadrat ist in Dreiecke zerlegt

Zweiter Tipp zur Lösung des Geometrie-Puzzles

Ihr benötigt nur Addition und Subtraktion.

Das bekommt jeder hin. Niemand muss Wurzeln ziehen, mit Logarithmen arbeiten oder irgendein anderes merkwürdiges Zeug kennen.

Plus und Minus reichen völlig!

Dritter Tipp zur Lösung des Geometrie-Puzzles

Überlegt euch, welche der vielen Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben.

Am besten markiert ihr euch diese Dreiecke farblich oder kennzeichnet sie mit den gleichen Buchstaben.

Ergebnis des dritten Tipps

Gleichgroße Dreieecke sind in unserem Quadrat farblich markiert

Warum sind die farblich markierten Dreiecke gleich groß?

Dazu müsst ihr wissen, wie die Fläche eines Dreiecks berechnet wird (ihr müsst aber nichts selber rechnen!), nämlich A = 1/2 * Grundlinie * Höhe.

Skizze zur Flächenberechnung eines Dreiecks

Alle Dreiecke mit derselben Grundlinie und derselben Höhe haben also den gleichen Flächeninhalt, völlig unabhängig davon, wie schief sie aussehen.

Gleiche Dreiecke im Quadrat sind mit Buchstaben markiert

Die Dreiecke mit derselben Farbe haben zwar rein optisch nicht dieselbe Grundlinie, aber die Länge der Grundlinie ist identisch, denn so haben wir das konstruiert. Die Markierung auf der Seite ist genau in der Mitte. Die Spitze der Dreiecke ist der gleiche Punkt. Also ist auch die Höhe jeweils gleich. Grundfläche gleich lang, Höhe gleich lang, also auch Fläche gleich groß. Und das, ohne zu rechnen!

Clipart mit nachdenkendem Mann


Die Lösung

Falls ihr bis zu dieser Stelle mitgearbeitet und mitgedacht habt, wisst ihr die Lösung vielleicht schon.

Nein?

Okay, kein Problem.

Wir kennen die Flächen von drei unregelmäßigen Flächen, die sich jeweils aus zwei Dreiecken zusamensetzen:

Flächengröße für links oben: 20Fläche links oben: a + d = 20

Flächengröße für rechts oben: 32Fläche rechts oben: a + b = 32

Flächengröße für links unten: 12Fläche links unten: c + d = 12

Woher wir die Werte kennen? Wir haben die Werte einfach mal willkürlich so festgelegt. Diese Werte gehörten als Vorgabe zur Aufgabenstellung.

Flächengröße für rechts unten: unbekanntFläche rechts unten: b + c = ?

Wenn wir uns die beiden folgenden Bilder genauer ansehen, erkennen wir, dass in den jeweils gegenüberliegenden Flächen alle vier Buchstaben vorhanden sind (alle vier verschiedenen Dreiecke).

Alle vier Buchstaben kommen in den gegenüberliegenden Flächen vorAlle vier Buchstaben kommen in den gegenüberliegenden Flächen vor


Natürlich gilt: a + b + c + d = a + b + c + d

Oder: (a + d) + (b + c) = ( a + b ) + ( c + d ).

Für die Termumformung habe ich lediglich die Summanden anders angeordnet (Kommutativgesetz) und mit Klammern hervorgehoben (Assoziativgesetz). Jede Klammer entspricht nun dem Flächeninhalt einer der Flächen mit je zwei Dreiecken.

Auf der linken Seite der Gleichung stehen immer noch alle vier Buchstaben, auf der rechten ebenso. Die Summe ist also auf beiden Seiten gleich.

Wir suchen die Größe der Fläche, die sich aus den beiden Dreiecken b und c zusammensetzt.

Bei einer Gleichung darf man auf beiden Seiten denselben Wert abziehen, ohne dass sich an der Gleichheit etwas ändert.

10 = 10

10 – 2 = 10 – 2 ergibt 8 = 8 und ist damit immer noch eine korrekte Aussage.

Lasst uns nun (a + d) auf beiden Seiten unserer Gleichung abziehen, also:

(a + d) + (b + c) – (a + d) = ( a + b ) + ( c + d ) – (a + d)

Oder etwas umgestellt:

(a + d) – (a + d) + (b + c) = ( a + b ) + ( c + d ) – (a + d)

Wenn man einen Wert von sich selber abzieht, bleibt nichts (bzw. Null) übrig.

Es ergibt sich also:

(b + c) = ( a + b ) + ( c + d ) – (a + d)

Die Werte für die Klammerausdrücke auf der rechten Seite der Gleichung kennen wir aber und haben sie weiter oben notiert. Die setzen wir nun ein:

(b + c) = 32 + 12 – 20

(b + c) = 24

Und das ist genau die gesuchte Größe unserer Fläche rechts unten im Quadrat: 24

Spezialfall mit vier gleich großen Teilflächen

Quadrat mit vier gleich großen Teilflächen

Platziert den frei wählbaren Punkt einmal ganz genau in die Mitte des Quadrats. Jetzt ergibt sich die Lösung ganz von selbst. Alle vier Flächen haben dann denselben Flächeninhalt und die gerade gelöste Gleichung ergibt unmittelbar einen Sinn.

Wenn ihr den Lösungsweg verstanden habt, könnt ihr nun eure eigenen Verwandten und Freunde herausfordern. Sie werden euch für ein mathematisches Genie halten!

Schreibt mir gerne einen Kommentar, wie ihr bei euren Leuten angekommen seid!

Wie teuer ist ein Glasfaseranschluss?

Vor wenigen Tagen habe ich mir ausführlich Gedanken darüber gemacht, ob ein Glasfaseranschluss der Firma „Deutsche Glasfaser“ irgendeinen Nutzen, einen Mehrwert für mich hat. Ihr könnt das hier nachlesen: Glasfasernetz in Forstern.

Ich konnte keinen Nutzen für mich finden.

Was ich mir dabei bislang (mit voller Absicht) noch gar nicht angesehen habe, ist der Preis für die Leistung der DG.

Mein Tarif bei der Telekom

Aktuell verfüge ich über eine Internet-Verbindung mit 50 MBit/s. Alle anderen Leistungen sind für mich bisher nicht relevant.

Festnetztelefone benutze ich schon seit 14 Jahren nicht mehr. Es hat ja ohnehin jeder ein eigenes Smartphone mit Telefon Flat-Rate.

Screenshot des Telekom-Tarifs

Die Telekom nennt meinen Tarif wohl MagentaZuhause M.

Dieser Tarif kostet mich im Monat 39,95 Euro.

Das „M“ in der Tarifbezeichnung deutet bereits an, dass es auch noch größer (= teurer) geht. Schauen wir uns mal an, was ein Tarif in der Größenordnung von 200 MBit/s kosten würde. Das ist der Einstiegstarif bei der DG für Glasfaser.

Screenshot des Telekom-Tarifs XL

Auch hier kann man in die Tarif-Details gehen, um sich die Inklusiv-Leistungen wie Cloud-Speicher etc. anzusehen.

Wichtig erscheinen mir die folgenden Angaben:

  • Mindestvertragslaufzeit: 24 Monate
  • Kündigungsfrist: 1 Monat
  • Verlängerung um 12 Monate

Der XL-Tarif kostet im Monat 54,95 Euro.

Was kostet ein Glasfaseranschluss bei der DG?

Screenshot des DG-Tarifs 200

  • Mindestvertragslaufzeit: 24 Monate
  • Kündigungsfrist: 3 Monate
  • Verlängerung um 12 Monate

Der Vertrag kostet 44,99 Euro monatlich.

Vergleich der beiden Anbieter

Ich möchte noch einmal betonen, dass ich hier keine Leistungsmerkmale vergleiche, die ich nutzen könnte, sondern ausschließlich den Preis für eine Leitung mit ca. 200 MBit/s.

Ob das Telefonieren ins Festnetz im Preis enthalten ist, spielt für mich mangels Festnetztelefone keine Rolle. Und so geht es mir mit anderen Leistungemerkmalen genauso. So ist es mir auch egal, wieviel Bandbreite ich für den Uplink erhalte.

Ein Vertrag bei der „Deutschen Glasfaser“ würde mich mit 44,99 Euro 5 Euro mehr kosten als mein bisheriger Vertrag. Allerdings würde er auch 10 Euro weniger kosten als ein in etwa vergleichbarer Vertrag bei der Telekom.

Hm … da komme ich nun doch etwas ins Grübeln.

Ist ja nicht so, dass ich die höhere Geschwindigkeit bräuchte, aber 5 Euro extra für viermal soviel Bandbreite …

Die Vertragslaufzeiten unterscheiden sich nicht. Nur bei der Kündigungsfrist ist die Telekom kundenfreundlicher.

Wechselangebot der „Deutschen Glasfaser“

Die „Deutsche Glasfaser“ will auf Biegen und Brechen die Hoheit über unsere Glasfasernetzwerke haben. Das ist bei der Telekom nicht anders. Ein bisschen Konkurrenz ist gar nicht schlecht, denn auf einmal verspricht die Telekom, in Deutschland den Glasfaserausbau erheblich auszuweiten.

Für uns in Forstern hat der Ehrgeiz der DG den Vorteil, dass uns der Wechsel von einem anderen Anbieter mit weiteren Vorteilen schmackhaft gemacht wird. Die Telekom macht das auch, aber da bin ich ja schon.

In den ersten 12 Monaten zahlt man für den Anschluss nur 24,99 Euro (statt der 44,99 Euro). Wie gesagt handelt sich dabei nicht um einen Rabatt, den nur die DG anbietet.

Interessant finde ich aber, dass die DG für die Übergangszeit, in der möglicherweise sowohl der alte als auch der neue Vertrag parallel laufen, auf die monatlichen Gebühren verzichten will. Das gilt für maximal 12 Monate. In dieser Zeit zahlt man also nur den alten Vertrag weiter, bis er beendet ist. Den neuen Vertrag kann man bereits nutzen, muss aber nichts dafür bezahlen. Mal von der einmaligen Bereitstellungsgebühr in Höhe von 69,99 Euro abgesehen, auf der ich auf jeden Fall sitzen bleibe.

Wenn man online bestellt, erhält man eine Gutschrift von 30 Euro, so dass die Bereitstellungsgebühr weniger schmerzt.

Meine Bestellung

Screenshot meiner Bestellung bei der DG

Wie ihr seht … ich habe es getan!

Kategorie: Forstern  2 Kommentare

Meine Wunschliste für einen noch besseren Hyundai Kona

Bei all den Informationen über das Internet (Foren, Facebook, YouTube) und durch meine eigenen Erfahrungen hat sich gezeigt, dass der eine oder andere hin und wieder doch etwas beim Kona vermisst.

Ich trage hier ein paar dieser Punkte zusammen, wobei dies nicht abwertend gedeutet werden sollte. Jeder setzt da für sich handere Prioritäten. Man könnte den Hyundai Kona aber vielleicht noch etwas besser machen. 😉

  • Schalter für Sitzheizung etc. weiter nach vorne
  • Bordcomputer Steuerung im Tablet
  • größere Symbole im Bordcomputer für LKAS und ACC
  • Fensterheberbeleuchtung rechts
  • Türöffner-Beleuchtung links und rechts
  • akustisches Signal, wenn der LKAS die Fahrbahnmarkierungen nicht mehr erkennt und deswegen nicht selbst lenkt
  • Berücksichtigung von erlaubter Höchstgeschwindigkeit im Tempomat
  • Android Car per Bluetooth
  • Android App (Ladezustand, Klimatisierung)
  • Memory-Funktion für die Sitze
  • Einlage für das Fach unter der Armlehne
  • bessere Innenraum-Dämmung
  • 5cm mehr Beinfreiheit auf der Rücksitzbank (siehe Kia e-Niro)
  • Ledersitze in Weinrot
  • Ziernähte (Sitze, Lenkrad) in Akzentfarbe
  • Vorklimatisierung auch ohne Verbindung zum Stromnetz
  • Ladekabel Ablagemöglichkeit in der Heckklappe oder im Motorraum
  • LED Abbiegelicht
  • Hintere Blinker mit LED
  • Abdeckung für Rückfahrkamera gegen Schmutz
  • 360 Grad Kamera
  • Besseres TCS
  • Alu-Karosserie
  • Alu-Abdeckleiste beim Kofferraum
  • Alu-Abdeckleisten bei den Türeinstiegen

Andere Leute wünschen sich:

  • LED Fußrauminnenbeleuchtung
  • iPhone App
  • Frontparksensoren konfigurierbar machen (Ein – Aus- Automatisch)
  • LED Kennzeichenbeleuchtung
  • USB-Anschluss für hinten
  • Luftauslass für hinten
  • Sitzheizung für hinten
  • Nebelscheinwerfer
  • Dynamisches Kurvenlicht
  • LED Matrix-Licht
  • größerer Kofferraum (siehe Kia e-Niro)
  • Laden über Typ 2 mit drei Phasen statt nur mit einer

Danach habe ich nun nicht so ein starkes Verlangen, aber diese Wünsche sind völlig in Ordnung, finde ich.

Beleuchtung im Kona

Hier habe ich den Eindruck, dass man das Auto einfach nicht zu Ende entwickelt hat. Vermutlich gab es einen gewissen Zeitdruck für die Markteinführung. Anders kann ich mir das nicht erklären.

Für ein Elektro-Fahrzeug ist es sehr wichtig, Energie zu sparen. Bei Lampen geht das besonders einfach, wenn man die herkömmlichen Leuchtmittel durch LEDs ersetzt.

Es ist nicht zu verstehen, dass dies beim Kona nicht konsequent umgesetzt wurde. Die Kosten lasse ich nicht als Argument gelten lassen.

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